Test de deux médicaments traitant la même maladie

Deux médicaments sont utilisés dans le but de soigner la même maladie. Un laboratoire de recherche effectue un test sur \(1~000\) patients afin d'étudier l'efficacité de chaque médicament. Les patients ont pris le médicament A ou le médicament B mais pas les deux ensemble.

On obtient les résultats suivants :

• \(450\) personnes de l'étude ont pris le médicament A et parmi elles \(367\) ont guéri ;
  
• \(805\) personnes ont guéri.
  

1. Compléter le tableau suivant récapitulant les données de l'exercice. Le détail des calculs n'est pas exigé.

       \(\begin{array}{|l|c|c|r|}\hline                &\text{Médicament A}&\text{Médicament B}& \text{Total}  \\\hline                \text{Guéris} &  &  &  \\\hline                \text{Non guéris} &  &  & \\\hline                \text{Total} &  &  & 1~000 \\\hline    \end{array}\)

On choisit au hasard un patient parmi les \(1~000\) et on considère les événements suivants :

• \(\text{A}\) : « le patient a pris le médicament A » ;
  
• \(\text{B}\) : « le patient a pris le médicament B » ;
  
• \(\text{G}\) : « le patient est guéri ».
  

2. Calculer \(P(\text{A})\) et \(P(\text{G})\).
3. Calculer la probabilité que le patient ne soit pas guéri. Utiliser la notation adaptée.
4. Calculer \(P(\text{B}\cap \overline{\text{G}})\).
5. Calculer la probabilité que le patient soit guéri et qu'il ait pris le médicament A. Utiliser la notation adaptée.
6. Calculer \(P(\overline{\text{A}}\cup \text{G})\). Donner une interprétation du résultat à l'aide d'une phrase.
7. On choisit au hasard un patient parmi les patients guéris. Calculer la probabilité que le patient ait pris le médicament A.
8. Déterminer \(\)\(P_{\overline{\text{A}}}(\text{G})\).
9. Calculer \(P(\overline{\text{A}\cup \text{G}})\).